Distribusi Binomial - Rumus, Pola Soal Dan Pembahasan

Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan kondisi yang mempunyai dua kemungkinan, contohnya seorang ibu melahirkan bayi yang terlahir bisa laki-laki atau perempuan, dikala kita melempar sebuah dadu bilangan yang muncul bisa ganjil atau genap, dikala kita melempar sebuah koin, yang muncul bisa gambar atau angka, ketika siswa ujian kesannya bisa lulus atau tidak lulus. Dalam sudi peluang, banyak sekali kondisi yang mempunyai dua kemungkinan disebut sebagai percobaan binomial atau eksperimen binomial.

Binomial terdiri dari dua suku kata  yaitu bi yang artinya dua dan nomial yang sanggup diartikan sebagai kondisi. Dengan demikian, binomial merupakan kondisi yang mempunyai dua kemungkinan, yaitu "berhasil" atau "gagal".

Misalnya, ketika kita melempar sebuah koin sebanyak 10 kali dan kita ingin menghitung peluang dari 10 kali pelemparan tersebut sebanyak 5 kali pelemparan kita memperoleh gambar. Kejadian tersebut merupakan salah satu pola insiden yang memerlukan formula peluang binomial yang akan kita pelajari pada goresan pena ini. Pada kondisi tersebut, kondisi dimana koin membuktikan gambar bisa kita anggal sebagai konisi "berhasil" maka dikala koin membuktikan angka bisa kita anggal sebagai kondisi "gagal".

Rumus Peluang Binomial

untuk percobaan binomial, dimana peluang sukses yakni $p$ dan peluang gagal yakni $q$ untuk setiap percobaan dimana $q=1-p$, maka probabilitas sukses sebanyak $x$ dari $n$ percobaan adalah: $$P(x,n)=C(n,x)\times p^{x}\times q^{n-x}$$

Keterangan:
$C(n,x)=\frac{n!}{(n-x)!.x!}$ 

untuk lebih memahaminya perhatikan beberapa pola soal beserta pembahasan berikut ini:

Contoh 1 (UN 2015 Program IPA)

Seorang penjaga gawang profesional bisa menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang bisa menahan 3 kali tendangan penalti tersebut yakni ....

A. $\frac{180}{625}$

B. $\frac{612}{625}$

C. $\frac{216}{625}$

D. $\frac{228}{625}$

E. $\frac{230}{625}$

Pembahasan:

Pada insiden di atas kondisi "sukses" yakni keadaan dimana penjaga gawang bisa menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac{3}{5}$, maka peluang "gagal" yakni $q=1-p=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.

Peluang penjaga gawang bisa menahan 3 kali tendangan $(x=3)$ dari 5 kali tendangan $(n=5)$ adalah:

$\begin{align*}P(x=3, n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{5-3}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\&=10\times\left(\frac{27}{125}\right)\times\left(\frac{4}{25}\right)\\&=\frac{216}{625}\end{align*}$

Contoh 2 (SIMAK UI)

Peluang mendapat satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu yakni ....

A. $\frac{5}{246}$

B. $\frac{5}{36}$

C. $\frac{25}{46}$

D. $\frac{25}{72}$

E. $\frac{135}{432}$

Pembahasan:

kemungkinan jumlah mata dadu 7:

$\left\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\right\}$ ada 6 kemungkinan

banyak semua kemungkinan yakni $6\times 6=36$

dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu 7) yakni $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

peluang gagal (jumlah mata dadu bukan 7) yakni $q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Peluang mendapat satu kali $(x=1)$ dadu jumah 7 dari 3 kali $(n=3)$ pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=1,n=3)&=C(3,1)\times\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\times\left(\frac{5}{6} \right)^{3-1}\\&=\frac{3!}{2!.1!}\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\&=3\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{25}{36}\right)\\&=\frac{25}{72}\end{align*}$

Contoh 3

Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela yakni $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada 4 orang bayi, peluang dari bayi tersebut 3 orang belum diimunisasi rubela yakni ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$

Pembahasan:

peluang tidak diimunisasi yakni $p=0,2$
peluang diimunisasi yakni $q=1-p=1-0,2=0,8$

Peluang 3 dari 4 bayi belum diiunisasi yakni :

$\begin{align*}P(x=3, n=4)&=C(4,3)\times (0,2)^{3}\times (0,8)^{4-3}\\&=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times (0,8)\\&=0,0256\end{align*}$

Contoh 4

Sebuah koin dilempar 5 kali. Peluang mendapat sisi gambar sempurna 3 kali yakni ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$

Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan yakni $p=\frac{1}{2}$
Peluang mendapat angka pada setiap pelemparan yakni $q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Peluang sempurna 3 kali sanggup gambar dari 5 kali pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=3,n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times\left(\frac{1}{8}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\\&=10\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}\\&=\frac{10}{32}\end{align*}$

Demikianlah beberapa pola soal dan pembahasan bahan distribusi binomial. biar bermanfaat