Notasi Sigma - Konsep, Sifat-Sifat, Teladan Soal Dan Pembahasan
Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yang singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yang panjang, salah satunya yaitu notasi sigma $\left( \sum \right)$.
Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat dekat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma sanggup dipakai untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan pola tertentu dengan ringkas dan sederhana.
Bagaimana kita menulis ungkapan ibarat di bawah ini?
- $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
- $1+5+7+9+11+\cdots+2019$
- $1+9+16+25+36+...+1.000.00$
Dari rujukan di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi atau lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yang sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yang didefinisikan sebagai berikut:
$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$
Keterangan:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 hingga $n$
$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$
$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$
$k=1$ disebut sebagai batas bawah
$k=n$ desebut sebagai batas atas
Catatan:
indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:
$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$ atau $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ dan sebagainya
Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma
Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$
Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$
Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$
Jawab:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$
Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk memilih jumlahnya akan lebih gampang jikalau kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama dan $U_n$ suku terakhir, maka:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$
Contoh 3:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$
Jawab:
Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita sanggup menggunkan cara yang sama dengan rujukan 2 di atas:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$
Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma
Contoh 1:
Tuliskan dalam notasi sigma:
$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$
Jawab:
$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$
Sifat-sifat Notasi Sigma
Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:
| No | Sifat Notasi Sigma |
|---|---|
| 1 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$ |
| 2 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$ |
| 3 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$ |
| 4 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$ |
| 5 | $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$ |
| 6 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$ |
| 7 | $\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$ |
| 8 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$ |
| 9 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$ |
| 10 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$ |
Contoh Soal:
Dengan memakai sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$
Jawab:
Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$
Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.
Demikianlah klarifikasi singkat mengenai notasi sigma, biar bermanfaat.
Dengan memakai sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$
Jawab:
Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$
Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.
Demikianlah klarifikasi singkat mengenai notasi sigma, biar bermanfaat.
Download file pdf artikel ini
