Turunan Fungsi Trigonometri
Sebelumnya, m4th-lab telah membahas konsep dasar turunan fungsi aljabar yang merupakan salah satu bahan yang dipelajari pada matematika wajib kelas XI. Pada kesempatan ini kita akan berguru turunan fungsi trigonometri yang dipelajari di kelas XII pada matematika peminatan.
Rumus Dasar
Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri
1). $y=\sin{x}\rightarrow y'=\cos{x}$
2). $y=\cos{x}\rightarrow y'=-\sin{x}$
3). $y=\tan{x}\rightarrow y'=\sec^2{x}$
4). $y=\cot{x}\rightarrow y'=-\csc^2{x}$
5). $y=\sec{x}\rightarrow y'=\sec{x}\tan{x}$
6). $y=\csc{x}\rightarrow y'=-\csc{x}\cot{x}$
Perhatikan rumus-rumus di atas. Untuk mempermudah anda mengingat, setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan abjad c turunannya bernilai negatif.
Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari $y=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}$.
Jawab:
Ingat kembali hukum penjumlahan dan pengurangan pada turunan fungsi aljabar yang telah kita pelajari bahwa jikalau $y=u\pm v$ maka $y'=u'\pm v'$
$\begin{align*}y&=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}\\y'&=8x+3\cos{x}-(-\sin{x})\\&=8x+3\cos{x}+\sin{x}\end{align*}$
Selain rumus dasar di atas, perhatikan dan pahami juga rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks sebagai berikut.
Misal sudut dalam fungsi trigonometri ialah $u$, dengan $u$ suatu fungsi, maka:
1). $y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$
2). $y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$
3). $y=\tan{u}\rightarrow y'=u'.\sec^2{u}$
4). $y=\cot{u}\rightarrow y'=-u'.\csc^2{u}$
5). $y=\sec{u}\rightarrow y'=u'.\sec{u}\tan{u}$
6). $y=\csc{u}\rightarrow y'=-u'.\csc{u}\cot{u}$
Perhatikan dan pahami rumus di atas. Sebenarnya jikalau anda sudah memahami rumus dasar maka rumus pengembangan di atas sangat gampang untuk anda ingat. Yang perlu anda lakukan ialah mengalikan turunan fungsi trigonometri dengan turunan sudutnya (sudut berupa fungsi).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa pola di bawah ini:
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari $y=\sin{6x}$
Jawab:
Misal $6x=u$ maka $u'=6$
$y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$
$y=\sin{6x}\rightarrow y'=6\cos{6x}$
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari $y=\cos{(2x^2-6x+1)}$
Jawab:
Misal $2x^2-6x+1=u$ maka $u'=4x-6$
$y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$
$y=\cos{(2x^2-6x+1)}$
$ y'=-(4x-6)\sin{(2x^2-6x+1)}$
Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $y=5\tan{(4x-2018)}$
Jawab:
Misal $4x-2018=u$ maka $u'=4$
$\begin{align*}y&=5\tan{(4x-2018)}\\y'&=5(4)\sec^2{(4x-2018)}\\&=20\sec^2{(4x-2018)}\end{align*}$
Contoh 5
Tentukan turunan pertama dari $y=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}\\y'&=5(3)\cos{(3x+1)}-(-\frac{1}{2}(4)\sin{(4x+3)})\\&=15\cos{(3x+1)}+2\sin{(4x+3)}\end{align*}$
Contoh 6
Jika $f(x)=\cos{2x}-3\sin{2x}$, maka tentukanlah nilai dari $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$
Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\cos{2x}-3\sin{2x}\\f'(x)&=-2\sin{2x}-3(2)\cos{2x}\\&=-2\sin{2x}-6\cos{2x}\\f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-2\sin{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}-6\cos{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\&=-2\sin{\pi}-6\cos{\pi}\\&=-2(0)-6(-1)\\&=0+6\\&=6\end{align*}$
Turunan Bentuk $y=u.v$
Pada pembahasan limit fungsi aljabar kita sudah mengetahui bahwa turunan atau diferensial dari bentuk $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi ialah $y'=u'v+uv'$. Aturan tersebut berlaku juga untuk turunan fungsi trigonometri.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa pola berikut:
Contoh 7
Tentukan turunan pertama fungsi $y=x^2\sin{3x}$
Jawab
Kita buat pemisalan
$u=x^2\rightarrow u'=2x$
$v=\sin{3x}\rightarrow v'=3\cos{3x}$
$\begin{align*}y'&=u'v+uv'\\&=(2x)(\sin{3x})+(x^2)(3\cos{3x})\\&=2x\sin{3x}+3x^2\cos{3x}\end{align*}$
Turunan Bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$
Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar, untuk memilih turunan fungsi trigonometri bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ kita gunakan formula berikut:
$\displaystyle y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
untuk lebih jelasnya perhatikan pola berikut:
Contoh 8
Jika $\displaystyle y=\frac{1+\cos{x}}{-\sin{x}}$, maka $\displaystyle\frac{dy}{dx}=$ ....
Jawab
Kita buat pemisalan
$u=1+\cos{x}\rightarrow u'=-\sin{x}$
$v=-\sin{x}\rightarrow v'=-\cos{x}$
$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{(-\sin{x})(-\sin{x})-(1+\cos{x})(-\cos{x})}{(-\sin{x})^2}\\&=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}}\\&=\frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}\end{align*}$
Aturan Rantai
Jika fungsi trigonometri yang akan kita turunkan berbentuk $y=\sin^n{u}$ atau $y=\cos^n{u}$ atau $y=\tan^n{u}$ maka untuk menyelesaikannya kita gunakan hukum rantai (chain rule) sebagai berikut:
$\displaystyle y=f[g(x)]\rightarrow y'=f'[g(x)].g'(x)$
$\begin{align*}y&=\sin^n{u}\\y'&=n.\sin^{n-1}{u}.\cos{u}.u'\\&=n.u'.\sin^{n-1}.\cos{u}\end{align*}$
$\begin{align*}y&=\cos^n{u}\\y'&=n.\cos^{n-1}{u}.(-\sin{u}).u'\\&=-n.u'.\cos^{n-1}{u}.\sin{u}\end{align*}$
$\begin{align*}y&-=\tan^n{u}\\y'&=n.\tan^{n-1}{u}.\sec^2{u}.u'\\&=n.u'.\tan^{n-1}.\sec^2{u}\end{align*}$
untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa pola berikut
Contoh 9
Tentukan turunan pertama dari $y=\sin^5{(2x+1)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=\sin^5{(2x+1)}\\y'&=5\sin^4{(2x+1)}.\cos{(2x+1)}.2\\&=10\sin^4{(2x+1)}\cos{(2x+1)}\end{align*}$
Contoh 10
Tentukan turunan pertama fungsi $y=2\cos^3{(1-2x)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=2\cos^3{(1-2x)}\\y'&=3.2\cos^2{(1-2x)}.(-\sin{(1-2x)}).(-2)\\&=12\cos^2{(1-2x)}.\sin{(1-2x)}\end{align*}$
Demikianlah pembahasan konsep matematika turunan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.
